2017年全国中考数学试题2017年浙江省温州市中考数学试卷(含答案解析版)

2017年浙江省温州市初中毕业生学业考试

数学试题卷

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

1．的相反数是（ ）

A．6 B．1 C．0 D．

2．某校学生到校方式情况的统计图如图所示，若该校步行到校的学生有100人，则乘公共汽  车到校的学生有（ ）

A．75人 B．100人 C．125人 D．200人

3．某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是（ ）

 

A． B． C． D．

4．下列选项中的整数，与最接近的是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

5．温州某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下表：

零件个数（个）	5	6	7	8
人数（人）	3	15	22	10

表中表示零件个数的  数据中，众数是（ ）

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个

6．已知点（，），（4，y2）在一次函数的图象上，则，，0的大小关系是（  ）

A． B． C． D．

7．如图，一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶13米，已知，则小车上升的高度是（ ）

A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米

8．我们知道方程的解是，，

现给出另一个方程，它的解是（ ）

A．， B．， C． ， D．，

9．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为的小正方形EFGH，已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=EF，则正方形AB  CD的面积为（ ）

A． B． C． D．

10．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结，，，…得到螺旋折线（如图），已知点（0，1），（，0），（0，），则该折线上的点的坐标为（ ）

A．（，24） B．（，25） C．（，24） D．（，25）

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）：

11．分解因式：_______________．

12．数据1，3，5，12，，其中整数是这组数  据的中位数，则该组数据的平均数是__________．

13．已知扇形的面积为，圆心角为120°，则它的半径为________．

14．甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设米，根据题意可列出方程：_____________________．

15．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在轴、轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD=30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称（点A′和A，B′和B分别对应），若AB=1，反比例函数的图象恰好经过点 A′，B，则的值为_________．

第15题图 第16题图

16．小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为_________cm．

三、解答题（共8小题，共80分）：

17．（本题10分）（1）计算：；（2）  化简：．

18．（本题8分）如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD．

（1）求证：△ABC≌△AED；

（2）当∠B=140°时，求∠BAE的度数．

19．（本题8分）为培养学生数学学习兴趣，某校七年级准备开设“神奇魔方”、“魅力数独”、“数学故事”、“趣题巧解”四门选修课（每位学生必须且只选其中一门）．

（1）学校对七年级部分学生进行选课调查，得到如图所示的统计图，根据该统计图，请估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数。

（2）学校将选“数学故事”的学生分成人数相等的A，B，C三个班，小聪、小慧都选择了“数学故事”，已知小聪不在A班，求他和小慧被分到同一个班的概率．（要求列表或画树状图）

20．（本题8分）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称  为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A（2，3），B（4，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．

（1）在图1中画一个△PAB，使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标；

（2）在图2中画一个△PAB，使点P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．

 

 

（图1）

（图2）

21．（本题10分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，⊙O（圆心O在△ABC内部）经过B、C  两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F．延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D

（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；

（2）若BC=3，tan∠DEF=2，求BG的值．

22．（本题10分）如图，过抛物线上一点A作轴的平行线，交抛物线于另一点B，交轴于点C，已知点A的横坐标为．

（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；

（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；

①连结BD，求BD的最小值；

②当点D落在抛物线的对称轴上，且在轴上方时，求直线PD的函数表达式．

23．（本题12分）小黄准备给长8m，宽6m的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域Ⅰ（阴影部分）和一个环形区域Ⅱ（空白部分），其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ∥AD，如图所示．

（1）若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/，面积为(),区域Ⅱ的瓷砖均  价为200/，且两区域的瓷砖总价为不超过12000元，求的最大值；

（2）若区域Ⅰ满足AB：BC=2：3，区域Ⅱ四周宽度相等

①求AB，BC的长；

②若甲、丙  两瓷砖单价之和为300元/，乙、丙瓷砖单价之比为5：3，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元，求两瓷砖单价的取值范围．

24．（本题14分）如图，已知线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM  =BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD上），连结AC，DE．

（1）当∠APB=28°时，求∠B和的度数；

（2）求证：AC=AB。

（3）在点P的运动过程中

①当MP=4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值；

②记AP与圆的另一个交点为  F，将  点F绕点D旋转90°得到点G，当点G恰好落在MN上时，连结AG，CG，DG，EG，直  接写出△ACG和△DEG的  面积之比．

2017年浙江省温州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）：

1．（4分）﹣6的相反数是（　　）

A．6 B．1 C．0 D．﹣6

【分析】根据相反数的定义求解即可．

【解答】解：﹣6的相反数是6，

故选：A．

【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．

2．（4分）某校学生到校方式情况的统计图如图所示，若该校步行到校的学生有100人，则乘公共汽车到校的学生有（　　）

A．75人 B．100人 C．125人 D．200人

【分析】由扇形统计图可知，步行人数所占比例，再根据统计表中步行人数是100人，即可求出总人数以及乘公共汽车的人数；

【解答】解：所有学生人数为 100÷20%=500（人）；

所以乘公共汽车的学生人数为 500×40%=200（人）．

故选D．

【点评】此题主要考查了扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

3．（4分）某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．

【解答】解：从正面看 ，

故选：C．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．

4．（4分）下列选项中的整数，与 最接近的是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】依据被开方数越大对应的算术平方根越大进行解答即可．

【解答】解：∵16＜17＜20.25，

∴4＜ ＜4.5，

∴与 最接近的是4．

故选：B．

【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，掌握算术平方根的性质是解题的关键．

5．（4分）温州某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下表：

零件个数（个）	5	6	7	8
人数（人）	3	15	22	10

表中表示零件个数的数据中，众数是（　　）

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个

【分析】根据众数的定义，找数据中出现最多的数即可．

【解答】解：数字7出现了22次，为出现次数最多的数，故众数为7个，

故选C．

【点评】本题考查了众数的概念．众数是数据中出现次数最多的数．众数不唯一．

 

6．（4分）已知点（﹣1，y₁），（4，y₂）在一次函数y=3x﹣2的图象上，则y₁，y₂，0的大小关系是（　　）

A．0＜y₁＜y₂ B．y₁＜0＜y₂ C．y₁＜y₂＜0 D．y₂＜0＜y₁

【分析】根据点的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出y₁、y₂的值，将其与0比较大小后即可得出结论．

【解答】解：∵点（﹣1，y₁），（4，y₂）在一次函数y=3x﹣2的图象上，

∴y₁=﹣5，y₂=10，

∵10＞0＞﹣5，

∴y₁＜0＜y₂．

故选B．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据点的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征求出y₁、y₂的值是解题的关键．

 

7．（4分）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα= ，则小车上升的高度是（　　）

A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米

【分析】在Rt△ABC中，先求出AB，再利用勾股定理求出BC即可．

【解答】解：如图AC=13，作CB⊥AB，

∵cosα= = ，

∴AB=12，

∴BC= =13²﹣12²=5，

∴小车上升的高度是5m．

故选A．

【点评】此题主要考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

 

8．（4分）我们知道方程x²+2x﹣3=0的解是x₁=1，x₂=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）²+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（　　）

A．x₁=1，x₂=3 B．x₁=1，x₂=﹣3 C．x₁=﹣1，x₂=3 D．x₁=﹣1，x₂=﹣3

【分析】先把方程（2x+3）²+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，利用题中的解得到2x+3=1或2x+3=﹣3，然后解两个一元一次方程即可．

【解答】解：把方程（2x+3）²+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，

所以2x+3=1或2x+3=﹣3，

所以x₁=﹣1，x₂=﹣3．

故选D．

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

 

9．（4分）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2 EF，则正方形ABCD的面积为（　　）

A．12S B．10S C．9S D．8S

【分析】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a²+b²，由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，由此即可解决问题．

【解答】解：设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a²+b²

由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，

∵AM=2 EF，

∴2a=2 b，

∴a= b，

∵正方形EFGH的面积为S，

∴b²=S，

∴正方形ABCD的面积=4a²+b²=9b²=9S，

故选C．

【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

 

10．（4分）我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧 ， ， ，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P₁P₂，P₂P₃，P₃P₄，…得到螺旋折线（如图），已知点P₁（0，1），P₂（﹣1，0），P₃（0，﹣1），则该折线上的点P₉的坐标为（　　）

A．（﹣6，24） B．（﹣6，25） C．（﹣5，24） D．（﹣5，25）

【分析】观察图象，推出P₉的位置，即可解决问题．

【解答】解：由题意，P₅在P₂的正上方，推出P₉在P₆的正上方，且到P₆的距离=21+5=26，

所以P₉的坐标为（﹣6，25），

故选B．

【点评】本题考查规律型：点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，确定P₉的位置．

 

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）：

11．（5分）分解因式：m²+4m=　m（m+4）　．

【分析】直接提提取公因式m，进而分解因式得出答案．

【解答】解：m²+4m=m（m+4）．

故答案为：m（m+4）．

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

 

12．（5分）数据1，3，5，12，a，其中整数a是这组数据的中位数，则该组数据的平均数是　4.8或5或5.2　．

【分析】根据中位数的定义确定整数a的值，由平均数的定义即可得出答案．

【解答】解：∵数据1，3，5，12，a的中位数是整数a，

∴a=3或a=4或a=5，

当a=3时，这组数据的平均数为 =4.8，

当a=4时，这组数据的平均数为 =5，

当a=5时，这组数据的平均数为 =5.2，

故答案为：4.8或5或5.2．

【点评】本题主要考查了中位数和平均数，解题的关键是根据中位数的定义确定a的值．

13．（5分）已知扇形的面积为3π，圆心角为120°，则它的半径为　3　．

【分析】根据扇形的面积公式，可得答案．

【解答】解：设半径为r，由题意，得

πr²× =3π，

解得r=3，

故答案为：3．

【点评】本题考查了扇形面积公式，利用扇形面积公式是解题关键．

 

14．（5分）甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：　 = 　．

【分析】设甲每天铺设x米，则乙每天铺设（x+5）米，根据铺设时间= 和甲、乙完成铺设任务的时间相同列出方程即可．

【解答】解：设甲工程队每天铺设x米，则乙工程队每天铺设（x+5）米，由题意得： = ．

故答案是： = ．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．

 

15．（5分）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD=30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称（点A′和A，B′和B分别对应）．若AB=1，反比例函数y= （k≠0）的图象恰好经过点A′，B，则k的值为　 　．

【分析】设B（m，1），得到OA=BC=m，根据轴对称的性质得到OA′=OA=m，∠A′OD=∠AOD=30°，求得∠A′OA=60°，过A′作A′E⊥OA于E，解直角三角形得到A′（ m， m），列方程即可得到结论．

【解答】解：∵四边形ABCO是矩形，AB=1，

∴设B（m，1），

∴OA=BC=m，

∵四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称，

∴OA′=OA=m，∠A′OD=∠AOD=30°，

∴∠A′OA=60°，

过A′作A′E⊥OA于E，

∴OE= m，A′E= m，

∴A′（ m， m），

∵反比例函数y= （k≠0）的图象恰好经过点A′，B，

∴ m• m=m，

∴m= ，

∴k= ．

故答案为： ．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．

 

16．（5分）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为　24﹣8 　cm．

【分析】先建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，根据△ABQ∽△ACG，求得C（20，0），再根据水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），可设抛物线为y=ax²+bx+24，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得抛物线为y=﹣ x²+ x+24，最后根据点E的纵坐标为10.2，得出点E的横坐标为6+8 ，据此可得点E到洗手盆内侧的距离．

【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，

由题可得，AQ=12，PQ=MD=6，故AP=6，AG=36，

∴Rt△APM中，MP=8，故DQ=8=OG，

∴BQ=12﹣8=4，

由BQ∥CG可得，△ABQ∽△ACG，

∴ = ，即 = ，

∴CG=12，OC=12+8=20，

∴C（20，0），

又∵水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），

∴可设抛物线为y=ax²+bx+24，

把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得

，解得 ，

∴抛物线为y=﹣ x²+ x+24，

又∵点E的纵坐标为10.2，

∴令y=10.2，则10.2=﹣ x²+ x+24，

解得x₁=6+8 ，x₂=6﹣8 （舍去），

∴点E的横坐标为6+8 ，

又∵ON=30，

∴EH=30﹣（6+8 ）=24﹣8 ．

故答案为：24﹣8 ．

【点评】本题以水龙头接水为载体，考查了二次函数的应用以及相似三角形的应用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测量、运算、建模等数学实践活动为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题．

 

三、解答题（共8小题，共80分）：

17．（10分）（1）计算：2×（﹣3）+（﹣1）²+ ；

（2）化简：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2）．

【分析】（1）原式先计算乘方运算，化简二次根式，再计算乘法运算，最后算加减运算即可得到结果．

（2）运用平方差公式即可解答．

【解答】解：（1）原式=﹣6+1+2 =﹣5+2 ；

（2）原式=1﹣a²+a²﹣2a=1﹣2a．

【点评】本题考查了平方差公式，实数的运算以及单项式乘多项式．熟记实数运算法则即可解题，属于基础题．

 

18．（8分）如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD．

（1）求证：△ABC≌△AED；

（2）当∠B=140°时，求∠BAE的度数．

【分析】（1）根据∠ACD=∠ADC，∠BCD=∠EDC=90°，可得∠ACB=∠ADE，进而运用SAS即可判定全等三角形；

（2）根据全等三角形对应角相等，运用五边形内角和，即可得到∠BAE的度数．

【解答】（1）证明：

∵AC=AD，

∴∠ACD=∠ADC，

又∵∠BCD=∠EDC=90°，

∴∠ACB=∠ADE，

在△ABC和△AED中，

，

∴△ABC≌△AED（SAS）；

（2）解：当∠B=140°时，∠E=140°，

又∵∠BCD=∠EDC=90°，

∴五边形ABCDE中，∠BAE=540°﹣140°×2﹣90°×2=80°．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．

 

19．（8分）为培养学生数学学习兴趣，某校七年级准备开设“神奇魔方”、“魅力数独”、“数学故事”、“趣题巧解”四门选修课（每位学生必须且只选其中一门）．

（1）学校对七年级部分学生进行选课调查，得到如图所示的统计图．根据该统计图，请估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数．

（2）学校将选“数学故事”的学生分成人数相等的A，B，C三个班，小聪、小慧都选择了“数学故事”，已知小聪不在A班，求他和小慧被分到同一个班的概率．（要求列表或画树状图）

【分析】（1）利用样本估计总体，用480乘以样本中选“数学故事”的人数所占的百分比即可估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数；

（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出他和小慧被分到同一个班的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：（1）480× =90，

估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数为90人；

（2）画树状图为：

共有6种等可能的结果数，其中他和小慧被分到同一个班的结果数为2，

所以他和小慧被分到同一个班的概率= = ．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．\

 

20．（8分）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A（2，3），B（4，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．

（1）在图1中画一个△PAB，使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标；

（2）在图2中画一个△PAB，使点P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．

【分析】（1）设P（x，y），由题意x+y=2，求出整数解即可解决问题；

（2）设P（x，y），由题意x²+4²=4（4+y），求出整数解即可解决问题；

【解答】解：（1）设P（x，y），由题意x+y=2，

∴P（2，0）或（1，1）或（0，2）不合题意舍弃，

△PAB如图所示．

（2）设P（x，y），由题意x²+4²=4（4+y），

整数解为（2，1）或（0，0）等，△PAB如图所示．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计、二元方程的整数解问题等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

21．（10分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，⊙O（圆心O在△ABC内部）经过B、C两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F．延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D

（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；

（2）若BC=3，tan∠DEF=2，求BG的值．

【分析】（1）连接CE，根据等腰直角三角形的性质得到∠B=45°，根据切线的性质得到∠FEO=90°，得到EF∥OD，于是得到结论；

（2）过G作GN⊥BC于N，得到△GMB是等腰直角三角形，得到MB=GM，根据平行四边形的性质得到∠FCD=∠FED，根据余角的性质得到∠CGM=∠ACD，等量代换得到∠CGM=∠DEF，根据三角函数的定义得到CM=2GM，于是得到结论．

【解答】解：（1）连接CE，

∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠B=45°，

∴∠COE=2∠B=90°，

∵EF是⊙O的切线，

∴∠FEO=90°，

∴EF∥OC，

∵DE∥CF，

∴四边形CDEF是平行四边形；

（2）过G作GN⊥BC于N，

∴△GMB是等腰直角三角形，

∴MB=GM，

∵四边形CDEF是平行四边形，

∴∠FCD=∠FED，

∵∠ACD+∠GCB=∠GCB+∠CGM=90°，

∴∠CGM=∠ACD，

∴∠CGM=∠DEF，

∵tan∠DEF=2，

∴tan∠CGM= =2，

∴CM=2GM，

∴CM+BM=2GM+GM=3，

∴GM=1，

∴BG= GM= ．

【点评】本题考查了切线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．

 

22．（10分）如图，过抛物线y= x²﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．

（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；

（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；

①连结BD，求BD的最小值；

②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．

【分析】（1）首先确定点A的坐标，利用对称轴公式求出对称轴，再根据对称性可得点B坐标；

（2）①由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，推出当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD；

②当点D在对称轴上时，在Rt△OD=OC=5，OE=4，可得DE= = =3，求出P、D的坐标即可解决问题；

【解答】解：（1）由题意A（﹣2，5），对称轴x=﹣ =4，

∵A、B关于对称轴对称，

∴B（10，5）．

（2）①如图1中，

由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，

∴当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD= ﹣5=5 ﹣5．

②如图2中，

图2

当点D在对称轴上时，在Rt△ODE中，OD=OC=5，OE=4，

∴DE= = =3，

∴点D的坐标为（4，3）．

设PC=PD=x，在Rt△PDK中，x²=（4﹣x）²+2²，

∴x= ，

∴P（ ，5），

∴直线PD的解析式为y=﹣ x+ ．

【点评】本题考查抛物线与X轴的交点、待定系数法、最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，学会利用辅助圆解决最短问题，属于中考常考题型．

 

23．（12分）小黄准备给长8m，宽6m的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域Ⅰ（阴影部分）和一个环形区域Ⅱ（空白部分），其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ∥AD，如图所示．

（1）若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/m²，面积为S（m²），区域Ⅱ的瓷砖均价为200元/m²，且两区域的瓷砖总价为不超过12000元，求S的最大值；

（2）若区域Ⅰ满足AB：BC=2：3，区域Ⅱ四周宽度相等

①求AB，BC的长；

②若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m²，乙、丙瓷砖单价之比为5：3，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围．

【分析】（1）根据题意可得300S+（48﹣S）200≤12000，解不等式即可；

（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，由此即可解决问题；

②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m²和3x元/m²，则甲的单价为（300﹣3x）元/m²，由PQ∥AD，可得甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），由题意12（300﹣3x）+5x•s+3x•（12﹣s）=4800，解得s= ，由0＜s＜12，可得0＜ ＜12，解不等式即可；

【解答】解：（1）由题意300S+（48﹣S）200≤12000，

解得S≤24．

∴S的最大值为24．

（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，

∴AB=6﹣2a=4，CB=8﹣2a=6．

②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m²和3x元/m²，则甲的单价为（300﹣3x）元/m²，

∵PQ∥AD，

∴甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），

由题意12（300﹣3x）+5x•s+3x•（12﹣s）=4800，

解得s= ，

∵0＜s＜12，

∴0＜ ＜12，又∵300﹣3x＞0，

综上所述，50＜x＜100，150＜3x＜300，

∴丙瓷砖单价3x的范围为150＜3x＜300元/m²．

【点评】本题考查不等式的应用、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或不等式解决实际问题，属于中考常考题型．

 

24．（14分）如图，已知线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD上），连结AC，DE．

（1）当∠APB=28°时，求∠B和 的度数；

（2）求证：AC=AB．

（3）在点P的运动过程中

①当MP=4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值；

②记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D旋转90°得到点G，当点G恰好落在MN上时，连结AG，CG，DG，EG，直接写出△ACG和△DEG的面积之比．

【分析】（1）根据三角形ABP是等腰三角形，可得∠B的度数，再连接MD，根据MD为△PAB的中位线，可得∠MDB=∠APB=28°，进而得到 =2∠MDB=56°；

（2）根据∠BAP=∠ACB，∠BAP=∠B，即可得到∠ACB=∠B，进而得出AC=AB；

（3）①记MP与圆的另一个交点为R，根据AM²+MR²=AR²=AC²+CR²，即可得到PR= ，MR= ，再根据Q为直角三角形锐角顶点，分四种情况进行讨论：当∠ACQ=90°时，当∠QCD=90°时，当∠QDC=90°时，当∠AEQ=90°时，即可求得MQ的值为 或 或 ；

②先判定△DEG是等边三角形，再根据GMD=∠GDM，得到GM=GD=1，过C作CH⊥AB于H，由∠BAC=30°可得CH= AC=1=MG，即可得到CG=MH= ﹣1，进而得出S_△ACG= CG×CH= ，再根据S_△DEG= ，即可得到△ACG和△DEG的面积之比．

【解答】解：（1）∵MN⊥AB，AM=BM，

∴PA=PB，

∴∠PAB=∠B，

∵∠APB=28°，

∴∠B=76°，

如图1，连接MD，

∵MD为△PAB的中位线，

∴MD∥AP，

∴∠MDB=∠APB=28°，

∴ =2∠MDB=56°；

（2）∵∠BAC=∠MDC=∠APB，

又∵∠BAP=180°﹣∠APB﹣∠B，∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B，

∴∠BAP=∠ACB，

∵∠BAP=∠B，

∴∠ACB=∠B，

∴AC=AB；

（3）①如图2，记MP与圆的另一个交点为R，

∵MD是Rt△MBP的中线，

∴DM=DP，

∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，

∴RC=RP，

∵∠ACR=∠AMR=90°，

∴AM²+MR²=AR²=AC²+CR²，

∴1²+MR²=2²+PR²，

∴1²+（4﹣PR）²=2²+PR²，

∴PR= ，

∴MR= ，

Ⅰ．当∠ACQ=90°时，AQ为圆的直径，

∴Q与R重合，

∴MQ=MR= ；

Ⅱ．如图3，当∠QCD=90°时，

在Rt△QCP中，PQ=2PR= ，

∴MQ= ；

Ⅲ．如图4，当∠QDC=90°时，

∵BM=1，MP=4，

∴BP= ，

∴DP= BP= ，

∵cos∠MPB= = ，

∴PQ= ，

∴MQ= ；

Ⅳ．如图5，当∠AEQ=90°时，

由对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°，

∴MQ= ；

综上所述，MQ的值为 或 或 ；

②△ACG和△DEG的面积之比为 ．

理由：如图6，∵DM∥AF，

∴DF=AM=DE=1，

又由对称性可得GE=GD，

∴△DEG是等边三角形，

∴∠EDF=90°﹣60°=30°，

∴∠DEF=75°=∠MDE，

∴∠GDM=75°﹣60°=15°，

∴∠GMD=∠PGD﹣∠GDM=15°，

∴GMD=∠GDM，

∴GM=GD=1，

过C作CH⊥AB于H，

由∠BAC=30°可得CH= AC= AB=1=MG，AH= ，

∴CG=MH= ﹣1，

∴S_△ACG= CG×CH= ，

∵S_△DEG= ，

∴S_△ACG：S_△DEG= ．

【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，圆周角定理以及解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及等边三角形，运用旋转的性质以及含30°角的直角三角形的性质进行计算求解，解题时注意分类思想的运用．

 

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