2023年秋国开电大《常微分方程》形考任务3答案

常微分方程学习活动3
第一章 初等积分法的综合练习
本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．
要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。
一、填空题
1．微分方程 是 阶微分方程．
2．初值问题 的解所满足的积分方程是 ．
3．微分方程 是 ．（就方程可积类型而言）
4．微分方程 是 ．（就方程可积类型而言）
5．微分方程 是 ．（就方程可积类型而言）
6．微分方程 的所有常数解是　　 　　．
7．微分方程 的常数解是 ．
8．微分方程 的通解为　　 　　．
9．微分方程 的通解是 ．.
10．一阶微分方程的一个特解的图像是　　 　　维空间上的一条曲线．
二、计算题
1．指出下列方程的阶数，是否是线性方程：
（1）
（2）
（3）
2．用分离变量法求解下列方程：
（1）
（2）
（3）
3．解下列齐次线性微分方程
（1）
（2）
4．解下列一阶线性微分方程：
（1）
（2）
5．解下列伯努利方程
（1）
（2）
6．解下列全微分方程：
（1）
（2）
7．求下列方程的积分因子和积分：
（1）
（2）
8．求解下列一阶隐式微分方程
（1）
（2）
9．求解下列方程
（1）
（2）
三、证明题
1．设函数 ， 在 上连续，且 ， （a, b为常数）．求证：方程 的一切解在 上有界．
2．设 在 上连续，且 ，求证：方程
的一切解 ，均有 ．
四、应用题
1．按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比, 已知空气温度为 , 而物体在15分钟内由 冷却到 , 求物体冷却到 所需的时间.
2．重为100kg的物体，在与水平面成30?的斜面上由静止状态下滑，如果不计磨擦，试求：
（1）物体运动的微分方程；
（2）求5 s后物体下滑的距离，以及此时的速度和加速度．