常微分方程学习活动4
第二章 基本定理的综合练习
本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．
要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。
一、填空题
1. 方程 的任一非零解 与x轴相交．
2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件．
3. 方程 + ysinx = ex的任一解的存在区间必是 ．
4．一阶显式方程解的最大存在区间一定是 ．
5．方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．
6．方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．
7．方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．
8．方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．
9．方程 满足解的存在惟一性定理条件的区域是 ．
10．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间．
二、计算题
1．判断下列方程在怎样的区域上保证初值解存在且惟一？
（1） （2）
2．讨论方程 在怎样的区域中满足定理2.2的条件．并求通过 的一切解．
3．判断下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解．
（1） （2）
三、证明题
1．试证明：对于任意的 及满足条件 的 ，方程 的解 在 上存在．
2．设 在整个平面上连续有界，对 有连续偏导数，试证明方程 的任一解 在区间 上有定义．
3．设 在区间 上连续．试证明方程
的所有解的存在区间必为 ．
4．在方程 中，已知 ， 在 上连续，且 ．求证：对任意 和 ，满足初值条件 的解 的存在区间必为 ．
5．假设方程 在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且 ， 是定义在区间I上的两个解．求证：若 < ， ，则在区间I上必有 < 成立．
6．设 是方程
的非零解，其中 在 上连续．求证：当 时，必有 ．
7．设 在 上连续可微，求证：对任意的 ， ，方程
满足初值条件 的解必在 上存在．
8．证明：一阶微分方程
的任一解的存在区间必是 ．
四、应用题
1．求一曲线，具有如下性质：曲线上任一点的切线，在 轴上的截距之和为1．
2．求一曲线，此曲线的任一切线在两个坐标轴间的线段长等于常数 ．
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